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四次方程求根公式(三次方程求根公式)

学识问答 2024-06-21 05:22:44
导读 ax^3+bx^2+cx+d的标准型 化成 x^3+(b a)x^2+(c a)x+(d a)=0 可以写成 x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0 其中a1=b a,a2=c a,a3=d a 令y=x-a1 3

ax^3+bx^2+cx+d的标准型 化成 x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0 可以写成 x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0 其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a 令y=x-a1/3 则y^3+px+q=0 其中p=-(a1^2/3)+a2 q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a32)用方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 2、方程x^3=A的解为x1=A(1/3),x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ① 如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程 y^2+qy-p^3/27=0的两个根。

解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 则u^3=A,v^3=B u= A(1/3)或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2 v= B(1/3)或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2 但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组解: u1= A(1/3),v1= B(1/3) u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2 u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω 那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即 x1=u1+v1= A(1/3)+B(1/3) x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2 x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω 这正是著名的卡尔丹公式。

你直接套用就可以求解了。

△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。

当△>=0时,有一个实根和两个共轭复根; 当△<0时,有三个实根。

根与系数关系是:设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三根为x1,x2,x3, 则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.。

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